Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với cắt $SO$, $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $I$, $M, N, P, Q$. Một hình trụ có một đáy nội tiếp tứ giác $MNPQ$ và một đáy nằm trên hình vuông $ABCD$. Khi thể tích khối trụ lớn nhất thì độ dài $SI$ bằng
A. $SI=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
B. $SI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $SI=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
D. $SI=\dfrac{a}{3}$.
Giả sử một đáy của hình trụ tiếp xúc với các cạnh $MN$ và $PQ$ lần lượt tại $E$ và $F$
$\Rightarrow EF$ là đường kính của đáy, $OI$ là chiều cao của hình trụ
Gọi $G$, $H$ lần lượt là hình chiếu của $E$ và $F$ lên $\left( ABCD \right)$
$J$, $K$ là trung điểm của $AB$, $CD$.
Ta có $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}.A{{O}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$SJ=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{J}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Đặt $JG=x \left( 0<x<\dfrac{a}{2} \right)$
$OG=\dfrac{a-2x}{2}$
Và $OI=EG=JG.\tan \widehat{EJG}=JG.\dfrac{SO}{JO}=x\sqrt{2}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{tru\ddot{i}}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{a-2x}{2} \right)}^{2}}x\sqrt{2} \\
& =\dfrac{\sqrt{2}\pi }{48}{{\left( a-2x \right)}^{2}}.4x\le \dfrac{\sqrt{2}\pi }{48}{{\left[ \dfrac{\left( a-2x \right)+\left( a-2x \right)+4x}{3} \right]}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{162} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{tru\ddot{i} max}}=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{162}\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{6} \\
& \Rightarrow SI=SO-OI=\dfrac{a\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned}$
A. $SI=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
B. $SI=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $SI=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
D. $SI=\dfrac{a}{3}$.
$\Rightarrow EF$ là đường kính của đáy, $OI$ là chiều cao của hình trụ
Gọi $G$, $H$ lần lượt là hình chiếu của $E$ và $F$ lên $\left( ABCD \right)$
$J$, $K$ là trung điểm của $AB$, $CD$.
Ta có $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}.A{{O}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$SJ=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{J}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Đặt $JG=x \left( 0<x<\dfrac{a}{2} \right)$
$OG=\dfrac{a-2x}{2}$
Và $OI=EG=JG.\tan \widehat{EJG}=JG.\dfrac{SO}{JO}=x\sqrt{2}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{tru\ddot{i}}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{a-2x}{2} \right)}^{2}}x\sqrt{2} \\
& =\dfrac{\sqrt{2}\pi }{48}{{\left( a-2x \right)}^{2}}.4x\le \dfrac{\sqrt{2}\pi }{48}{{\left[ \dfrac{\left( a-2x \right)+\left( a-2x \right)+4x}{3} \right]}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{162} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{tru\ddot{i} max}}=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{162}\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{6} \\
& \Rightarrow SI=SO-OI=\dfrac{a\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned}$
Đáp án C.