Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2. Kí hiệu $\left( H \right)$ là khối đa điện có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đã cho. Tính thể tích của $\left( H \right)$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. 4.
C. $\dfrac{9}{2}$.
D. $\dfrac{5}{12}$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. 4.
C. $\dfrac{9}{2}$.
D. $\dfrac{5}{12}$.
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD $\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{.2.1}^{2}}=\dfrac{2}{3}$.
Gọi M, N, P, Q, E, F, G, H là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp (như hình vẽ).
Ta có ${{V}_{MNPQGFEH}}={{V}_{S.ABCD}}-\left( {{V}_{S.EFGH}}+{{V}_{F.MBQ}}+{{V}_{G.QCP}}+{{V}_{H.PDN}}+{{V}_{E.MAN}} \right)$
${{V}_{S.EFGH}}=\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( EFGH \right) \right).{{S}_{EFGH}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).E{{F}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{12}$
${{V}_{S.EFGH}}={{V}_{F.MBQ}}={{V}_{G.QCP}}={{V}_{H.PDN}}={{V}_{E.MAN}}$
$=\dfrac{1}{3}d\left( E;\left( AMN \right) \right).{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).\dfrac{1}{2}AM.AN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{24}$
Vậy thể tích cần tính ${{V}_{MNPQGFEH}}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{4}{24}=\dfrac{5}{12}$.
Gọi M, N, P, Q, E, F, G, H là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp (như hình vẽ).
Ta có ${{V}_{MNPQGFEH}}={{V}_{S.ABCD}}-\left( {{V}_{S.EFGH}}+{{V}_{F.MBQ}}+{{V}_{G.QCP}}+{{V}_{H.PDN}}+{{V}_{E.MAN}} \right)$
${{V}_{S.EFGH}}=\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( EFGH \right) \right).{{S}_{EFGH}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).E{{F}^{2}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{12}$
${{V}_{S.EFGH}}={{V}_{F.MBQ}}={{V}_{G.QCP}}={{V}_{H.PDN}}={{V}_{E.MAN}}$
$=\dfrac{1}{3}d\left( E;\left( AMN \right) \right).{{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S;\left( ABCD \right) \right).\dfrac{1}{2}AM.AN=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{24}$
Vậy thể tích cần tính ${{V}_{MNPQGFEH}}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{4}{24}=\dfrac{5}{12}$.
Đáp án D.