Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng 2. Kí hiệu

(H)

là khối đa điện có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đã cho. Tính thể tích của

(H)

.
A.

2 \sqrt{3}

.
B. 4.
C.

\frac{9}{2}

.
D.

\frac{5}{12}

.

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD

\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} {.2 .1}^{2} = \frac{2}{3}

.
Gọi M, N, P, Q, E, F, G, H là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp (như hình vẽ).

Ta có

V_{M N P Q G F E H} = V_{S . A B C D} - (V_{S . E F G H} + V_{F . M B Q} + V_{G . Q C P} + V_{H . P D N} + V_{E . M A N})

V_{S . E F G H} = \frac{1}{3} d (S; (E F G H)) . S_{E F G H} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} d (S; (A B C D)) . E F^{2} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} .2 . {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{12}

V_{S . E F G H} = V_{F . M B Q} = V_{G . Q C P} = V_{H . P D N} = V_{E . M A N}

= \frac{1}{3} d (E; (A M N)) . S_{A M N} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} d (S; (A B C D)) . \frac{1}{2} A M . A N = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} .2 . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{24}

Vậy thể tích cần tính

V_{M N P Q G F E H} = \frac{2}{3} - \frac{1}{12} - \frac{4}{24} = \frac{5}{12}

.

Đáp án D.