Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SC.$ Tính thể tích khối đa diện $ABCMN?$
A. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
Do
$SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{SB,\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBA}=60{}^\circ \Rightarrow SA=AB.\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=2{{a}^{3}}.$
Mà: $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow {{V}_{ABCMN}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
B. $3{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
$SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{SB,\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBA}=60{}^\circ \Rightarrow SA=AB.\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=2{{a}^{3}}.$
Mà: $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow {{V}_{ABCMN}}=\dfrac{3}{4}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
Đáp án A.