Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $SA=2.$ Gọi ,D E lần lượt là...

Phương pháp:
- Gọi F là trung điểm của SE , suy ra DF ⊥ BD .
- Đặt $AB=BC=CA=x$, tính $BD,DF,BF$.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tìm x .
- Tính chiều cao và diện tích đáy của hình chóp, áp dụng công thức tính thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{day}}.h$.
Cách giải:

Đặt $AB=BC=CA=x$.
Gọi F là trung điểm của SE ta có DF là đường trung bình của tam giác SAE nên $DF\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!AE~$
Mà AE ⊥ BD nên $DF\bot BD\Rightarrow \Delta BDF$ vuông tại D .
Xét tam giác SAB có:
$B{{D}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}+S{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}=\dfrac{{{x}^{2}}+4}{2}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+1$
CMTT ta có $A{{E}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+1\Rightarrow D{{F}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{8}+\dfrac{1}{4}$
Xét tam giác SBC có:
$\cos \angle BSC=\dfrac{S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2SB.SC}=\dfrac{4+4-{{x}^{2}}}{2.2.2}=1-\dfrac{{{x}^{2}}}{8}$
Xét tam giác SBF có:
$B{{F}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{F}^{2}}-2SB.SF.\cos \angle BSC$
$\begin{aligned}
& ={{2}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-2.2.\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{8} \right) \\
& =\dfrac{17}{4}-2+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4} \\
\end{aligned}$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BDF ta có:
$\begin{aligned}
& B{{F}^{2}}=B{{D}^{2}}+D{{F}^{2}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{9}{4}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+1+\dfrac{{{x}^{2}}}{8}+\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{8}=1\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
Gọi O là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right).~$
Gọi M là trung điểm của AB ta có: $CM=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\Rightarrow CO=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOC có:
$SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-C{{O}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}{{\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{3}$
Tam giác ABC đều cạnh $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ nên ${{S}_{\Delta ABC}}={{\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2\sqrt{7}}{3}.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{21}}{27}$