Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $a\sqrt{2}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{4}$
B. $\dfrac{3a}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Kẻ $SH\bot (ABC)$ tại $H$.
Vì $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Suy ra $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong mặt phẳng $\left( SAH \right)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SH$ tại $I$.
Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Bán kính $R=IS=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{2\sqrt{2{{a}^{2}}-\dfrac{3}{9}{{a}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{15}a}{5}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}a}{4}$
B. $\dfrac{3a}{5}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Vì $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Suy ra $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong mặt phẳng $\left( SAH \right)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SH$ tại $I$.
Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Bán kính $R=IS=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{2\sqrt{2{{a}^{2}}-\dfrac{3}{9}{{a}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{15}a}{5}$.
Đáp án D.