Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{165}}{30}$
B. $\dfrac{a\sqrt{165}}{45}$
C. $\dfrac{a\sqrt{165}}{15}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{165}}{15}$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Do hình chóp $S.ABC$ đều nên $SO\bot \left( ABC \right)$
$SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{33}}{3}$ ; $GM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
$d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3d\left( G,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3SG.GM}{\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{165}}{15}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{165}}{30}$
B. $\dfrac{a\sqrt{165}}{45}$
C. $\dfrac{a\sqrt{165}}{15}$
D. $\dfrac{2a\sqrt{165}}{15}$
$SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{33}}{3}$ ; $GM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
$d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3d\left( G,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3SG.GM}{\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{165}}{15}$.
Đáp án C.