Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $5\sqrt{2}$, khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ đến một mặt bên là $2$. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng:
A. $\dfrac{500}{9}\pi $.
B. $\dfrac{2000}{9}\pi $.
C. $\dfrac{500}{3}\pi $.
D. $\dfrac{500}{27}\pi $.
Gọi $I, E$ lần luọt là trung điểm của $AB, BC$. Kẻ $OH\bot SI \left( H\in SI \right)$.
Ta có $SO\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SO\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O; \left( SAB \right) \right)=OH=2$.
Ta có $OI=\dfrac{1}{3}CI=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$.
Xét $\Delta SOI$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{2}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{100}\Rightarrow SO=10$.
Xét khối nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có chiều cao $h=SO=10, r=OC=\dfrac{2}{3}CI=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{5\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}.10=\dfrac{500}{9}\pi $.
A. $\dfrac{500}{9}\pi $.
B. $\dfrac{2000}{9}\pi $.
C. $\dfrac{500}{3}\pi $.
D. $\dfrac{500}{27}\pi $.
Ta có $SO\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SO\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot SI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O; \left( SAB \right) \right)=OH=2$.
Ta có $OI=\dfrac{1}{3}CI=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$.
Xét $\Delta SOI$ có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{2}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{100}\Rightarrow SO=10$.
Xét khối nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có chiều cao $h=SO=10, r=OC=\dfrac{2}{3}CI=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{5\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}.10=\dfrac{500}{9}\pi $.
Đáp án A.