Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng $5 \sqrt{2}$ ...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều

S . A B C

có cạnh đáy bằng

5 \sqrt{2}

, khoảng cách từ tâm

O

của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

đến một mặt bên là

2

. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng:
A.

\frac{500}{9} π

.
B.

\frac{2000}{9} π

.
C.

\frac{500}{3} π

.
D.

\frac{500}{27} π

.

Gọi

I, E

lần luọt là trung điểm của

A B, B C

. Kẻ

O H ⊥ S I (H \in S I)

.
Ta có

S O ⊥ (A B C) \Rightarrow S O ⊥ A B

.
Ta có

{\begin{aligned} A B ⊥ O I \\ A B ⊥ S O \end{aligned} \Rightarrow A B ⊥ (S O I) \Rightarrow A B ⊥ O H

.
Ta có

{\begin{aligned} O H ⊥ A B \\ O H ⊥ S I \end{aligned} \Rightarrow O H ⊥ (S A B) \Rightarrow d (O; (S A B)) = O H = 2

.
Ta có

O I = \frac{1}{3} C I = \frac{1}{3} . \frac{5 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{6}}{6}

.
Xét

Δ S O I

có

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O I^{2}} \Rightarrow \frac{1}{S O^{2}} = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{{(\frac{5 \sqrt{6}}{6})}^{2}} = \frac{1}{100} \Rightarrow S O = 10

.
Xét khối nón ngoại tiếp hình chóp

S . A B C

có chiều cao

h = S O = 10, r = O C = \frac{2}{3} C I = \frac{5 \sqrt{6}}{3}

.
Thể tích khối nón là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(\frac{5 \sqrt{6}}{3})}^{2} .10 = \frac{500}{9} π

.

Đáp án A.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 52...