Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng...

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, suy ra $BC\mathrm{\perp }OE$. Dựng $OH\mathrm{\perp }SE$ tại $H$.
Ta có $\{\begin{array}{rl}& BC\mathrm{\perp }OE\\ & BC\mathrm{\perp }SO\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SOE\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }OH$.
Khi đó $\{\begin{array}{rl}& OH\mathrm{\perp }BC\\ & OH\mathrm{\perp }SE\end{array}\Rightarrow OH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$, suy ra $OH=d(O,\left(SBC\right))={\displaystyle \frac{a}{2}}$.
Vì tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ nên $AE=2a.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=a\sqrt{3}$.
Suy ra $OA={\displaystyle \frac{2}{3}}AE={\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}$ và $OE={\displaystyle \frac{1}{3}}AE={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$.
Trong tam giác vuông $SOE,$ ta có: ${\displaystyle \frac{1}{O{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{O{E}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{S{O}^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{S{O}^2}}={\displaystyle \frac{1}{O{H}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{O{E}^2}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}\Rightarrow SO=a.$
Khối nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có bán kính đáy $R=OA={\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}$, đường cao $h=SO=a$.
Vậy thể tích khối nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi R^2.h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}\right)}^2.a={\displaystyle \frac{4\pi a^3}{9}}$.