Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $a$ và góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ với mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a}{4}$.
B. $\dfrac{a}{8}$.
C. $\dfrac{3a}{4}$.
D. $\dfrac{3a}{8}$.
Gọi $D$ là trung điểm của $BC$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó $AD\bot BC$, $SD\bot BC$, $SG\bot \left( SBC \right)$.
Vì $\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC$, $AD\bot BC$, $SD\bot BC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SDA}$. Suy ra $\widehat{SDA}=60{}^\circ $.
Vì $AD\bot BC$, $SD\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAD \right)$. Trong tam giác $SAD$ hạ $GE\bot SD$ suy ra $GE\bot \left( SBC \right)$ hay $d\left( G,\left( SBC \right) \right)=GE$. Suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3GE$.
Xét tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ có đường cao $AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $GD=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Xét tam giác $EGD$ vuông tại $E$ có $\widehat{EDG}=60{}^\circ $ suy ra $\sin 60{}^\circ =\dfrac{GE}{GD}$ hay $\sin 60{}^\circ =\dfrac{GE}{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}$.
Suy ra $GE=\dfrac{a}{4}$. Vì $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3GE$ nên $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$. Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$.
A. $\dfrac{a}{4}$.
B. $\dfrac{a}{8}$.
C. $\dfrac{3a}{4}$.
D. $\dfrac{3a}{8}$.
Vì $\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC$, $AD\bot BC$, $SD\bot BC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SDA}$. Suy ra $\widehat{SDA}=60{}^\circ $.
Vì $AD\bot BC$, $SD\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAD \right)$. Trong tam giác $SAD$ hạ $GE\bot SD$ suy ra $GE\bot \left( SBC \right)$ hay $d\left( G,\left( SBC \right) \right)=GE$. Suy ra $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3GE$.
Xét tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ có đường cao $AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $GD=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Xét tam giác $EGD$ vuông tại $E$ có $\widehat{EDG}=60{}^\circ $ suy ra $\sin 60{}^\circ =\dfrac{GE}{GD}$ hay $\sin 60{}^\circ =\dfrac{GE}{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}$.
Suy ra $GE=\dfrac{a}{4}$. Vì $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=3GE$ nên $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$. Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{4}$.
Đáp án C.