Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$, cạnh đáy bằng $a$. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$. Biết rằng $BM$ vuông góc với $AN$. Thể tích của khối chóp bằng
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{24}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{7}}{8}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{8}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{14}}{24}{{a}^{3}}.$
Gọi $D$ sao cho $MNAD$ là hình bình hành, $BM$ vuông góc với $AN$ nên tam giác $DMB$ vuông cân tại $M.$ Suy ra: $BM=\dfrac{BD}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}.$
Gọi cạnh $SA=x,x>0.BM$ là đường trung tuyến tam giác $SAB$ nên ta có:
$B{{M}^{2}}=\dfrac{2\left( B{{A}^{2}}+B{{S}^{2}} \right)-S{{A}^{2}}}{4}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a\sqrt{14}}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{2\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{42}}{6}.$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{42}}{6}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{14}}{24}.$
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{24}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{7}}{8}{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{8}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{14}}{24}{{a}^{3}}.$
Gọi $D$ sao cho $MNAD$ là hình bình hành, $BM$ vuông góc với $AN$ nên tam giác $DMB$ vuông cân tại $M.$ Suy ra: $BM=\dfrac{BD}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}.$
Gọi cạnh $SA=x,x>0.BM$ là đường trung tuyến tam giác $SAB$ nên ta có:
$B{{M}^{2}}=\dfrac{2\left( B{{A}^{2}}+B{{S}^{2}} \right)-S{{A}^{2}}}{4}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a\sqrt{14}}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{2\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{42}}{6}.$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{42}}{6}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{14}}{24}.$
Đáp án D.