Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ}$. Tính tan của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
A. $\dfrac{1}{2 \sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
C. $2 \sqrt{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $O$ là trọng tâm tam giác đều $\mathrm{ABC}$
Vì chóp $S.ABC$ đều nên $S O \perp(A B C)$
$\Rightarrow O A$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(A B C)$ $\Rightarrow(S A ; \widehat{(A B C}))=(\widehat{S A ; O A})=\widehat{S A O}=60^{\circ}$
$S O \perp(A B C) \Rightarrow S O \perp O A \Rightarrow \Delta S A O$ vuông tại $O$
Gọi $\mathrm{D}$ là trung điểm của $BC$ có: $A D=\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A O=\dfrac{2}{3} A D=\dfrac{2}{3} \dfrac{a \sqrt{3}}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow S O=A O \cdot \tan 60=\dfrac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}=a$
Ta có : $\widehat{\left( \left( SBC \right); \left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SDO}$.
Xét $\Delta SDO$ có : $\tan \widehat{SDO}=\dfrac{SO}{DO}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}=2\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{1}{2 \sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
C. $2 \sqrt{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Vì chóp $S.ABC$ đều nên $S O \perp(A B C)$
$\Rightarrow O A$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(A B C)$ $\Rightarrow(S A ; \widehat{(A B C}))=(\widehat{S A ; O A})=\widehat{S A O}=60^{\circ}$
$S O \perp(A B C) \Rightarrow S O \perp O A \Rightarrow \Delta S A O$ vuông tại $O$
Gọi $\mathrm{D}$ là trung điểm của $BC$ có: $A D=\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A O=\dfrac{2}{3} A D=\dfrac{2}{3} \dfrac{a \sqrt{3}}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow S O=A O \cdot \tan 60=\dfrac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}=a$
Ta có : $\widehat{\left( \left( SBC \right); \left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SDO}$.
Xét $\Delta SDO$ có : $\tan \widehat{SDO}=\dfrac{SO}{DO}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}=2\sqrt{3}$.
Đáp án C.