Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $AB=2a, BC=a, SA$ vuông góc với mặt đáy và cạnh $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc $\alpha $ có $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$. Gọi $E,F$ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh $SB,SD$ sao cho $SB=2SE, SD=3SF$. Thể tích $V$ của khối tứ diện $AEFC$ là
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Gắn hệ trục tọa độ với gốc $O\equiv A$, tia $Ox\equiv AB$ ; tia $Oy\equiv AD$ ; tia $Oz\equiv AS$.
Coi $a=1$.
$SA=AC.\tan \alpha =\sqrt{5}.\dfrac{\sqrt{5}}{5}=1$.
Ta có $A\left( 0;0;0 \right),C\left( 2;1;0 \right), E\left( 1;0;\dfrac{1}{2} \right), F\left( 0;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3} \right)$.
$\overrightarrow{AC}\left( 2;1;0 \right), \overrightarrow{AE}\left( 1;0;\dfrac{1}{2} \right),\overrightarrow{AF}\left( 0;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE} \right]=\left( \dfrac{1}{2};-1;-1 \right)$.
$V=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE} \right].\overrightarrow{AF} \right|=\dfrac{1}{6}$.
Coi $a=1$.
$SA=AC.\tan \alpha =\sqrt{5}.\dfrac{\sqrt{5}}{5}=1$.
Ta có $A\left( 0;0;0 \right),C\left( 2;1;0 \right), E\left( 1;0;\dfrac{1}{2} \right), F\left( 0;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3} \right)$.
$\overrightarrow{AC}\left( 2;1;0 \right), \overrightarrow{AE}\left( 1;0;\dfrac{1}{2} \right),\overrightarrow{AF}\left( 0;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE} \right]=\left( \dfrac{1}{2};-1;-1 \right)$.
$V=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE} \right].\overrightarrow{AF} \right|=\dfrac{1}{6}$.
Đáp án C.