Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA,CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD$ và $EF$ bằng.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{10}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{a}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{10}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Cách 1
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ $\Rightarrow EM//SD\Rightarrow SD//\left( EMF \right)$.
Khi đó $d\left( SD,EF \right)=d\left( SD,\left( EMF \right) \right)$ $=d\left( D,\left( EMF \right) \right)=d\left( A,\left( EMF \right) \right)$
$\dfrac{d\left( A,\left( EMF \right) \right)}{d\left( I,\left( EMF \right) \right)}=\dfrac{AK}{IK}$ $=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{4}}=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow d\left( A,\left( EMF \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( I,\left( EMF \right) \right)$ ( I là điểm thuộc $AB$ sao cho $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ )
$d\left( I,MF \right)=\dfrac{3}{2}d\left( A,MF \right)$ $=\dfrac{3}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{8}$
$\Rightarrow IE=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
$\dfrac{1}{d_{{}}^{2}\left( I,\left( EMF \right) \right)}=\dfrac{1}{d_{{}}^{2}\left( I,MF \right)}+\dfrac{1}{IE_{{}}^{2}}$ $=\dfrac{1}{\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{8} \right)_{{}}^{2}}+\dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)_{{}}^{2}}=\dfrac{80}{9a_{{}}^{2}}$
$\Rightarrow d\left( I,\left( EMF \right) \right)=\dfrac{3\sqrt{5}}{20}$.
Vậy $d\left( SD,EF \right)=d\left( D,\left( EMF \right) \right)$ $=\dfrac{2}{3}d\left( I,\left( EMF \right) \right)$ $=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3\sqrt{5}}{20}=\dfrac{a\sqrt{5}}{10}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ $\Rightarrow EM//SD\Rightarrow SD//\left( EMF \right)$.
Khi đó $d\left( SD,EF \right)=d\left( SD,\left( EMF \right) \right)$ $=d\left( D,\left( EMF \right) \right)=d\left( A,\left( EMF \right) \right)$
$\dfrac{d\left( A,\left( EMF \right) \right)}{d\left( I,\left( EMF \right) \right)}=\dfrac{AK}{IK}$ $=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{4}}=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow d\left( A,\left( EMF \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( I,\left( EMF \right) \right)$ ( I là điểm thuộc $AB$ sao cho $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ )
$d\left( I,MF \right)=\dfrac{3}{2}d\left( A,MF \right)$ $=\dfrac{3}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{8}$
$\Rightarrow IE=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
$\dfrac{1}{d_{{}}^{2}\left( I,\left( EMF \right) \right)}=\dfrac{1}{d_{{}}^{2}\left( I,MF \right)}+\dfrac{1}{IE_{{}}^{2}}$ $=\dfrac{1}{\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{8} \right)_{{}}^{2}}+\dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)_{{}}^{2}}=\dfrac{80}{9a_{{}}^{2}}$
$\Rightarrow d\left( I,\left( EMF \right) \right)=\dfrac{3\sqrt{5}}{20}$.
Vậy $d\left( SD,EF \right)=d\left( D,\left( EMF \right) \right)$ $=\dfrac{2}{3}d\left( I,\left( EMF \right) \right)$ $=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3\sqrt{5}}{20}=\dfrac{a\sqrt{5}}{10}$.
Đáp án C.