Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $SABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{19}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{38}}{19}$.
Từ $A$ kẻ $AD\bot BC$ mà $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$
$\Rightarrow BC\bot \left( SAD \right)$ $\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SBC \right)$ mà $\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)=SD$
$\Rightarrow $ Từ $A$ kẻ $AE\bot SD\Rightarrow AE\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AE$
Trong $\vartriangle ABC$ vuông tại $A$ ta có: $\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}$
Trong $\vartriangle SAD$ vuông tại $A$ ta có: $\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{19}{12{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AE=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$
A. $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{19}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{38}}{19}$.
Từ $A$ kẻ $AD\bot BC$ mà $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$
$\Rightarrow BC\bot \left( SAD \right)$ $\Rightarrow \left( SAD \right)\bot \left( SBC \right)$ mà $\left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)=SD$
$\Rightarrow $ Từ $A$ kẻ $AE\bot SD\Rightarrow AE\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AE$
Trong $\vartriangle ABC$ vuông tại $A$ ta có: $\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}$
Trong $\vartriangle SAD$ vuông tại $A$ ta có: $\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{19}{12{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AE=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$
Đáp án B.