Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${SABC}$ có đáy ${ABC}$ là tam giác đều cạnh ${a}$, cạnh bên ${SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}$ và ${SA}$ vuông góc với đáy, ${M}$ là điểm thuộc miền trong của tam giác ${SBC}$. Trong trường hợp tích khoảng cách từ ${M}$ đến các mặt phẳng ${\left( {SAB} \right) , \left( {SAC} \right), \left( {ABC} \right)}$ lớn nhất hãy tính ${AM}$.
A. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{9}}$.
B. ${\dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}}$.
C. ${\dfrac{{a\sqrt {21} }}{9}}$.
D. ${\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}$.
Diện tích các tam giác ABC, SAB SAC là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{S}_{ABC}}={{S}_{SAC}}$ Thể tích khối chóp S.ABC là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Ta lại có ${{V}_{SABC}}={{V}_{M.SAB}}+{{V}_{M.SAC}}+{{V}_{M.ABC}}$
$\Leftrightarrow \left[ d\left( M,\left( SAC \right) \right)+d\left( M,\left( SAB \right) \right)+d\left( M,\left( ABC \right) \right) \right].\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=3.\dfrac{{{a}^{2}}}{8}$
$d\left( M,\left( SAC \right) \right)+d\left( M,\left( SAB \right) \right)+d\left( M,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $d\left( M,\left( SAC \right) \right).d\left( M,\left( SAB \right) \right).d\left( M,\left( ABC \right) \right)$
$\le {{\left[ \dfrac{d\left( M,\left( SAC \right) \right)+d\left( M,\left( SAB \right) \right)d+\left( M,\left( ABC \right) \right)}{3} \right]}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{72}$
Suy ra giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ M đến các mặt là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$ đạt được khi
$d\left( M,\left( SAC \right) \right)=d\left( M,\left( SAB \right) \right)=d\left( M,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Gọi E là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) khi đó $EM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
$d\left( M,\left( SAB \right) \right)=d\left( E,\left( SAB \right) \right)=d\left( E,AB \right)v\grave{a}d\left( M,\left( SAC \right) \right)=d\left( E,\left( SAC \right) \right)=d\left( E,AC \right)$ suy ra $d\left( E,AC \right)=d\left( E,AB \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}={{r}_{ABC}}$.
Do đó E chính là tâm đường tròn nội tếp tam giác ABC và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do tam giác ABC đều). Suy ra
$AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Vậy $AM=\sqrt{A{{E}^{2}}+E{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}$
A. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{9}}$.
B. ${\dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}}$.
C. ${\dfrac{{a\sqrt {21} }}{9}}$.
D. ${\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}$.
Diện tích các tam giác ABC, SAB SAC là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{S}_{ABC}}={{S}_{SAC}}$ Thể tích khối chóp S.ABC là
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Ta lại có ${{V}_{SABC}}={{V}_{M.SAB}}+{{V}_{M.SAC}}+{{V}_{M.ABC}}$
$\Leftrightarrow \left[ d\left( M,\left( SAC \right) \right)+d\left( M,\left( SAB \right) \right)+d\left( M,\left( ABC \right) \right) \right].\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=3.\dfrac{{{a}^{2}}}{8}$
$d\left( M,\left( SAC \right) \right)+d\left( M,\left( SAB \right) \right)+d\left( M,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $d\left( M,\left( SAC \right) \right).d\left( M,\left( SAB \right) \right).d\left( M,\left( ABC \right) \right)$
$\le {{\left[ \dfrac{d\left( M,\left( SAC \right) \right)+d\left( M,\left( SAB \right) \right)d+\left( M,\left( ABC \right) \right)}{3} \right]}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{72}$
Suy ra giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ M đến các mặt là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$ đạt được khi
$d\left( M,\left( SAC \right) \right)=d\left( M,\left( SAB \right) \right)=d\left( M,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Gọi E là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) khi đó $EM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
$d\left( M,\left( SAB \right) \right)=d\left( E,\left( SAB \right) \right)=d\left( E,AB \right)v\grave{a}d\left( M,\left( SAC \right) \right)=d\left( E,\left( SAC \right) \right)=d\left( E,AC \right)$ suy ra $d\left( E,AC \right)=d\left( E,AB \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}={{r}_{ABC}}$.
Do đó E chính là tâm đường tròn nội tếp tam giác ABC và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do tam giác ABC đều). Suy ra
$AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$. Vậy $AM=\sqrt{A{{E}^{2}}+E{{M}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}$
Đáp án D.