Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S \cdot A B C$ có đáy ${A B C}$ là tam giác đều cạnh $a$, ${S A=9 a}$ và $S A \perp(A B C)$. Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác ${A B C}$ ; $P$, $Q$ lần lượt là hai điểm thuộc cạnh ${S B}$ và ${S C}$ thỏa $\dfrac{S P}{S B}=\dfrac{S Q}{S C}=\dfrac{1}{3}$. Thể tích khối tứ diện ${A O P Q}$ bằng
A. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{4}$.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.9a.\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$.
Kẻ $OH\parallel BC$, cắt $AB$ tại $H$. Ta có $\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AO}{AI}=\dfrac{2}{3}$.
${{V}_{O.APQ}}={{V}_{H.APQ}}={{V}_{Q.APH}}=\dfrac{1}{3}d\left( Q,SAB \right).{{S}_{\Delta APH}}$.
Mà $\dfrac{{{S}_{\Delta APH}}}{{{S}_{\Delta ASB}}}=\dfrac{d\left( P,AH \right).AH}{d\left( S,AB \right).AB}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$ và $\dfrac{d\left( Q,SAB \right)}{d\left( C,SAB \right)}=\dfrac{QA}{CA}=\dfrac{1}{3}$.
Suy ra ${{V}_{Q.APH}}=\dfrac{1}{3}d\left( Q,SAB \right).{{S}_{\Delta APH}}=\dfrac{4}{27}.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{a^3 \sqrt{3}}{4}$.
Kẻ $OH\parallel BC$, cắt $AB$ tại $H$. Ta có $\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AO}{AI}=\dfrac{2}{3}$.
${{V}_{O.APQ}}={{V}_{H.APQ}}={{V}_{Q.APH}}=\dfrac{1}{3}d\left( Q,SAB \right).{{S}_{\Delta APH}}$.
Mà $\dfrac{{{S}_{\Delta APH}}}{{{S}_{\Delta ASB}}}=\dfrac{d\left( P,AH \right).AH}{d\left( S,AB \right).AB}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$ và $\dfrac{d\left( Q,SAB \right)}{d\left( C,SAB \right)}=\dfrac{QA}{CA}=\dfrac{1}{3}$.
Suy ra ${{V}_{Q.APH}}=\dfrac{1}{3}d\left( Q,SAB \right).{{S}_{\Delta APH}}=\dfrac{4}{27}.\dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
Đáp án A.