Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Mặt bên $SAB$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cạnh bên $SC$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
Ta có: $\Delta SAB$ cân tại $S$ $\Rightarrow $ $SI\bot AB$ $\left( 1 \right)$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra: $SI\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow SI$ là chiều cao của hình chóp $S.ABCD$
$\Rightarrow $ $IC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,IC \right)}=\widehat{SCI}=60{}^\circ $
Xét $\Delta IBC$ vuông tại $B$, ta có: $IC=\sqrt{I{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Xét $\Delta SIC$ vuông tại $I$, ta có: $SI=IC.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
Ta có: $\Delta SAB$ cân tại $S$ $\Rightarrow $ $SI\bot AB$ $\left( 1 \right)$
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra: $SI\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow SI$ là chiều cao của hình chóp $S.ABCD$
$\Rightarrow $ $IC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,IC \right)}=\widehat{SCI}=60{}^\circ $
Xét $\Delta IBC$ vuông tại $B$, ta có: $IC=\sqrt{I{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Xét $\Delta SIC$ vuông tại $I$, ta có: $SI=IC.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
Đáp án B.