Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình vuông cạnh $4a$. Mặt bên $SCD$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên $SA$ tạo với đáy một góc $30{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
B. $\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
D. $\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
Ta có $\left( SCD \right)\bot \left( ABCD \right),\left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD$. Gọi $H$ là trung điểm của $CD$ thì $SH\bot CD\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
$\left( SA,\left( ABCD \right) \right)=\left( SA,AH \right)=\widehat{SAH}=30{}^\circ $, $HA=\sqrt{D{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}a$.
Suy ra $\tan 30{}^\circ =\dfrac{SH}{HA}\Rightarrow SH=HA.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2\sqrt{15}}{3}a$. Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
B. $\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
D. $\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
$\left( SA,\left( ABCD \right) \right)=\left( SA,AH \right)=\widehat{SAH}=30{}^\circ $, $HA=\sqrt{D{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}a$.
Suy ra $\tan 30{}^\circ =\dfrac{SH}{HA}\Rightarrow SH=HA.\tan 30{}^\circ =\dfrac{2\sqrt{15}}{3}a$. Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{32{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}$.
Đáp án D.