Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$ Biết đáy là hình vuông cạnh $a,$ $SM\bot \left( ABCD \right),$ tam giác $SAB$ đều
Ký hiệu $\varphi $ là góc giữa $SD$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, khi đó $\tan \varphi $ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$.
A. $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$.
Vì tam giác $SAB$ đều nên $M$ là trung điểm của $AB$ và $SM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $\varphi =\left( \widehat{SD,\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SD,DM} \right)=\widehat{SDM}$, $MD=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Mặt khác, $\tan \widehat{SDM}=\dfrac{SM}{MD}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Ta có $\varphi =\left( \widehat{SD,\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SD,DM} \right)=\widehat{SDM}$, $MD=\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
Mặt khác, $\tan \widehat{SDM}=\dfrac{SM}{MD}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án A.