Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD đều có AB = 2a, SO = a với O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $a\sqrt{2}.$
B. $\dfrac{a}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Gọi M là trung điểm của cạnh CD, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot OM \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOM \right)$
$\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SOM \right).$
Trong mặt phẳng $\left( SOM \right)$ kẻ $OH\bot SM,\left( H\in SM \right)$ thì OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( SCD \right).$
Ta có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Cách 2 : Dùng tính chất tứ diện vuông $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}.$
A. $a\sqrt{2}.$
B. $\dfrac{a}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
& CD\bot OM \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOM \right)$
$\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SOM \right).$
Trong mặt phẳng $\left( SOM \right)$ kẻ $OH\bot SM,\left( H\in SM \right)$ thì OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( SCD \right).$
Ta có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Cách 2 : Dùng tính chất tứ diện vuông $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}.$
Đáp án C.