. Cho hình chóp S.ABCD đều có $AB=2$ và $SA=3\sqrt{2}$. Bán kính...

Phương pháp
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao của đường trung trực 1 cạnh bên và chiều cao của hình chóp.
Từ đó sử dụng tam giác đồng dạng để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều

Cách giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và E là trung điểm SB.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right).$
Trong $\left( SBO \right)$ kẻ đường trung trực của SB cắt SO tại I, khi đó $IA=IB=IC=ID=IS$ nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là $R=IS.$
Ta có ABCD là hình vuông cạnh 2
$\Rightarrow BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=2\sqrt{2}\Rightarrow BO=\dfrac{BD}{2}=\sqrt{2}.$
Ta có $SA=SB=SC=SD=3\sqrt{2}$ (vì S.ABCD là hình chóp đều) nên $SE=EB=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác SBO vuông tại O (vì $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot OB$ ) có $SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{18-2}=4.$
Ta có $\Delta SEI$ đồng dạng với tam giác SOB $\left( g-g \right)\Rightarrow \dfrac{SI}{SB}=\dfrac{SE}{SO}\Leftrightarrow IS=\dfrac{SB.SE}{SO}=\dfrac{3\sqrt{2}.\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{4}=\dfrac{9}{4}.$
Vậy bán kính $R=\dfrac{9}{4}.$
Chú ý: Các em có thể sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có cạnh bên là a và chiều cao h là $R=\dfrac{{{a}^{2}}}{2h}.$