Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SA. Biết hình chiếu vuông góc của S trùng với trọng tâm G của tam giác ACD, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{42}}{14}$
B. $\dfrac{3\text{a}\sqrt{42}}{14}$
C. $\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$
D. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{42}}{21}$
A. $\dfrac{a\sqrt{42}}{14}$
B. $\dfrac{3\text{a}\sqrt{42}}{14}$
C. $\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$
D. $\dfrac{2\text{a}\sqrt{42}}{21}$
Cách 1:
Gọi O là giao điểm AC và BD.
$\left( SB,(ABC\text{D}) \right)=\left( SB,BG \right)=\widehat{SBG}=60{}^\circ $
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$.
$B\text{D}=a\sqrt{2}\Rightarrow BG=\dfrac{2}{3}a\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$.
Trong tam giác vuông SBG có
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{SG}{BG}\Rightarrow SG=\tan 60{}^\circ .BG=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}a$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\dfrac{\sqrt{6}}{9}{{a}^{3}}$.
$\Rightarrow {{V}_{A.SBC}}=\dfrac{\sqrt{6}}{9}{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{M.SBC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{A.SBC}}=\dfrac{\sqrt{6}}{18}{{a}^{3}}$.
Trong tam giác vuông SBG, có $SB=\dfrac{SG}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}a$.
Trong tam giác vuông OGC, có $GC=\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}a$.
Trong tam giác vuông SGC, có $SC=\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{29}}{3}a$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}{{a}^{2}}$.
$\Rightarrow {{V}_{M.SBC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.d\left( M,(SBC) \right)\Rightarrow d\left( M,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{M.SBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\sqrt{42}}{14}a$.
Cách 2:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có $MO\text{ // SC}\Rightarrow \text{MO // }\left( SBC \right)$.
$\Rightarrow d\left( M,(SBC) \right)=d\left( O,(SBC) \right)=\dfrac{3}{4}d\left( G,(SBC) \right)$
Dựng $GI\bot BC\left( I\in BC \right)\Rightarrow BC\bot \left( SGI \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SGI \right)$ theo giao tuyến SI. Trong tam giác SGI dựng đường cao $SH\Rightarrow GH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( G,(SBC) \right)=GH$.
$\left( SB,(ABC\text{D}) \right)=\left( SB,BG \right)=\widehat{SBG}=60{}^\circ $.
$B\text{D}=a\sqrt{2}\Rightarrow BG=\dfrac{2}{3}a\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$.
Trong tam giác vuông SGB có $\tan 60{}^\circ =\dfrac{SG}{B\text{D}}\Rightarrow SG=\tan 60{}^\circ .BG=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}a$.
$GI=\dfrac{2}{3}a$.
Trong tam giác vuông SGI, có $\dfrac{1}{G{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{G{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{G}^{2}}}\Rightarrow GH=\dfrac{2\sqrt{42}}{21}a$.
Vậy $\Rightarrow d\left( M,(SBC) \right)=\dfrac{3}{4}.\dfrac{2\sqrt{42}}{21}a=\dfrac{\sqrt{42}}{14}a$.
Gọi O là giao điểm AC và BD.
$\left( SB,(ABC\text{D}) \right)=\left( SB,BG \right)=\widehat{SBG}=60{}^\circ $
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$.
$B\text{D}=a\sqrt{2}\Rightarrow BG=\dfrac{2}{3}a\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$.
Trong tam giác vuông SBG có
$\tan 60{}^\circ =\dfrac{SG}{BG}\Rightarrow SG=\tan 60{}^\circ .BG=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}a$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\dfrac{\sqrt{6}}{9}{{a}^{3}}$.
$\Rightarrow {{V}_{A.SBC}}=\dfrac{\sqrt{6}}{9}{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{M.SBC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{A.SBC}}=\dfrac{\sqrt{6}}{18}{{a}^{3}}$.
Trong tam giác vuông SBG, có $SB=\dfrac{SG}{\sin 60{}^\circ }=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}a$.
Trong tam giác vuông OGC, có $GC=\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}a$.
Trong tam giác vuông SGC, có $SC=\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{29}}{3}a$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}{{a}^{2}}$.
$\Rightarrow {{V}_{M.SBC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.d\left( M,(SBC) \right)\Rightarrow d\left( M,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{M.SBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\sqrt{42}}{14}a$.
Cách 2:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có $MO\text{ // SC}\Rightarrow \text{MO // }\left( SBC \right)$.
$\Rightarrow d\left( M,(SBC) \right)=d\left( O,(SBC) \right)=\dfrac{3}{4}d\left( G,(SBC) \right)$
Dựng $GI\bot BC\left( I\in BC \right)\Rightarrow BC\bot \left( SGI \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SGI \right)$ theo giao tuyến SI. Trong tam giác SGI dựng đường cao $SH\Rightarrow GH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( G,(SBC) \right)=GH$.
$\left( SB,(ABC\text{D}) \right)=\left( SB,BG \right)=\widehat{SBG}=60{}^\circ $.
$B\text{D}=a\sqrt{2}\Rightarrow BG=\dfrac{2}{3}a\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}a$.
Trong tam giác vuông SGB có $\tan 60{}^\circ =\dfrac{SG}{B\text{D}}\Rightarrow SG=\tan 60{}^\circ .BG=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}a$.
$GI=\dfrac{2}{3}a$.
Trong tam giác vuông SGI, có $\dfrac{1}{G{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{G{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{G}^{2}}}\Rightarrow GH=\dfrac{2\sqrt{42}}{21}a$.
Vậy $\Rightarrow d\left( M,(SBC) \right)=\dfrac{3}{4}.\dfrac{2\sqrt{42}}{21}a=\dfrac{\sqrt{42}}{14}a$.
Đáp án A.