Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M là...

Cách 1:

Gọi O là giao điểm AC và BD.
$(SB,(ABC\text{D}))=(SB,BG)=\widehat{SBG}=60{}^{\circ }$
$S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2$.
$B\text{D}=a\sqrt{2}\Rightarrow BG={\displaystyle \frac{2}{3}}a\sqrt{2}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}a$.
Trong tam giác vuông SBG có
$\tan 60{}^{\circ }={\displaystyle \frac{SG}{BG}}\Rightarrow SG=\tan 60{}^{\circ }.BG={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}a$.
$V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{\mathrm{\Delta }ABC}.SG={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{9}}{a}^3$.
$\Rightarrow V_{A.SBC}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{9}}{a}^2\Rightarrow V_{M.SBC}={\displaystyle \frac{1}{2}}{V}_{A.SBC}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{18}}{a}^3$.
Trong tam giác vuông SBG, có $SB={\displaystyle \frac{SG}{\sin 60{}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}a$.
Trong tam giác vuông OGC, có $GC=\sqrt{O{C}^2+O{G}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2+{({\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}})}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}a$.
Trong tam giác vuông SGC, có $SC=\sqrt{S{G}^2+G{C}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{29}}{3}}a$.
$\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}{a}^2$.
$\Rightarrow V_{M.SBC}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_{\mathrm{\Delta }ABC}.d(M,(SBC))\Rightarrow d(M,(SBC))={\displaystyle \frac{3V_{M.SBC}}{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{42}}{14}}a$.
Cách 2:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có $MO\text{ // SC}\Rightarrow \text{MO // }\left(SBC\right)$.
$\Rightarrow d(M,(SBC))=d(O,(SBC))={\displaystyle \frac{3}{4}}d(G,(SBC))$
Dựng $GI\mathrm{\perp }BC(I\in BC)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SGI\right)\Rightarrow \left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(SGI\right)$ theo giao tuyến SI. Trong tam giác SGI dựng đường cao $SH\Rightarrow GH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\Rightarrow d(G,(SBC))=GH$.
$(SB,(ABC\text{D}))=(SB,BG)=\widehat{SBG}=60{}^{\circ }$.
$B\text{D}=a\sqrt{2}\Rightarrow BG={\displaystyle \frac{2}{3}}a\sqrt{2}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}a$.
Trong tam giác vuông SGB có $\tan 60{}^{\circ }={\displaystyle \frac{SG}{B\text{D}}}\Rightarrow SG=\tan 60{}^{\circ }.BG={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}a$.
$GI={\displaystyle \frac{2}{3}}a$.
Trong tam giác vuông SGI, có ${\displaystyle \frac{1}{G{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{G{I}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{S{G}^2}}\Rightarrow GH={\displaystyle \frac{2\sqrt{42}}{21}}a$.
Vậy $\Rightarrow d(M,(SBC))={\displaystyle \frac{3}{4}}.{\displaystyle \frac{2\sqrt{42}}{21}}a={\displaystyle \frac{\sqrt{42}}{14}}a$.