Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $O$ và $SO\bot (ABCD)$, $SO=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$, $BC=SB=a$.Số đo góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ là:
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{90}^{0}}$.
D. ${{60}^{0}}$.
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{90}^{0}}$.
D. ${{60}^{0}}$.
Theo bài ra ta có $OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{6{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$
và $OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Chọn hệ trục $Oxyz$, với $O\left( 0;0;0 \right)$, $A\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right), $ $B\left( 0;\dfrac{a\sqrt{3}}{3};0 \right)$, $S\left( 0;0;\dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)$,
$C\left( -\dfrac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right)$, $D\left( 0;-\dfrac{a\sqrt{3}}{3};0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( -1;\sqrt{2};1 \right)$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$ là $\overrightarrow{n}'=\left( -1;-\sqrt{2};1 \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ ta có:
$cos\varphi =\left| cos\left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{n'} \right) \right|=\dfrac{\left| 1-2+1 \right|}{\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}} .\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}}}=0$
Suy ra góc $\varphi ={{90}^{0}}$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ là ${{90}^{0}}$
và $OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Chọn hệ trục $Oxyz$, với $O\left( 0;0;0 \right)$, $A\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right), $ $B\left( 0;\dfrac{a\sqrt{3}}{3};0 \right)$, $S\left( 0;0;\dfrac{a\sqrt{6}}{3} \right)$,
$C\left( -\dfrac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right)$, $D\left( 0;-\dfrac{a\sqrt{3}}{3};0 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( -1;\sqrt{2};1 \right)$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$ là $\overrightarrow{n}'=\left( -1;-\sqrt{2};1 \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ ta có:
$cos\varphi =\left| cos\left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{n'} \right) \right|=\dfrac{\left| 1-2+1 \right|}{\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}} .\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}}}=0$
Suy ra góc $\varphi ={{90}^{0}}$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ là ${{90}^{0}}$
Đáp án C.