Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, $\widehat{ABC}=60{}^\circ ,SA\bot \left( ABCD \right),SA=\dfrac{3a}{2}$ . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{3a}{8}.$
B. $\dfrac{5a}{8}.$
C. $\dfrac{3a}{4}.$
D. $\dfrac{5a}{4}.$
$\Delta ABC$ đều do $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ và $AB=BC$.
Lấy I làm trung điểm BC, kẻ $AH\bot SI$ tại H (1).
Ta có: $AI\bot BC$ (do $\Delta ABC$ đều), mà $BC\bot SA\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right),AH\subset \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AH\ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ tại $H\Rightarrow AH=d\left( A,\left( SBC \right) \right)$.
Ta có $\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta SAI$ vuông tại A có đường cao AH: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{4}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{16}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{3a}{4}=d\left( A,\left( SBC \right) \right).$
Ta có: $\dfrac{d\left( O,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{OC}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{8}$.
A. $\dfrac{3a}{8}.$
B. $\dfrac{5a}{8}.$
C. $\dfrac{3a}{4}.$
D. $\dfrac{5a}{4}.$
$\Delta ABC$ đều do $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ và $AB=BC$.
Lấy I làm trung điểm BC, kẻ $AH\bot SI$ tại H (1).
Ta có: $AI\bot BC$ (do $\Delta ABC$ đều), mà $BC\bot SA\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right),AH\subset \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AH\ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ tại $H\Rightarrow AH=d\left( A,\left( SBC \right) \right)$.
Ta có $\Delta ABC$ đều cạnh $a\Rightarrow AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta SAI$ vuông tại A có đường cao AH: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{4}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{16}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{3a}{4}=d\left( A,\left( SBC \right) \right).$
Ta có: $\dfrac{d\left( O,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{OC}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( O,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3a}{8}$.
Đáp án A.