Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{3}$, $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=2a, AD=a\sqrt{5}$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{90}^{0}}$.
D. ${{60}^{0}}$.
A. ${{30}^{0}}$.
B. ${{45}^{0}}$.
C. ${{90}^{0}}$.
D. ${{60}^{0}}$.
Ta có $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ nên góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AC$ bằng góc $\widehat{SCA}$.
Xét tam giác $ADC$ vuông tại $D$ có $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=3a$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, suy ra góc $\widehat{SCA}={{30}^{0}}$.
Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
Xét tam giác $ADC$ vuông tại $D$ có $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=3a$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, suy ra góc $\widehat{SCA}={{30}^{0}}$.
Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
Đáp án A.