Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt đáy và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $AB=4a$, $AD=3a$, $SB=5a$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$.
A. $\dfrac{12\sqrt{61} a}{61}$.
B. $\dfrac{\sqrt{61} a}{12}$.
C. $\dfrac{12\sqrt{41} a}{41}$.
D. $\dfrac{\sqrt{41} a}{12}$.
Ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 5a \right)}^{2}}-{{\left( 4a \right)}^{2}}}=3a$.
Cách 1:
Ta có $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=h$.
Tứ diện $ASBD$ có các cạnh $AB,AD,AS$ đôi một vuông góc với nhau và $AB=4a,AD=3a,AS=3a$ nên ta có
$\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{41}{144{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{12a\sqrt{41}}{41}$
Vậy $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{12a\sqrt{41}}{41}$.
Cách 2:
Đặt hình chóp $S.ABCD$ vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A \equiv O$, $AB$ nằm trên tia $Ox$, $AD$ nằm trên tia $Oy$, $AS$ nằm trên tia $Oz$. Các đỉnh của hình chóp có tọa độ là:
$A\left( 0 ; 0 ; 0 \right)$, $B\left( 4a ; 0 ; 0 \right)$, $C\left( 4a ; 3a ; 0 \right)$, $D\left( 0 ; 3a ; 0 \right)$, $S\left( 0 ; 0 ; 3a \right)$.
Sử dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng $\left( SBD \right)$ là:
$\dfrac{x}{4a}+\dfrac{y}{3a}+\dfrac{z}{3a}=1$ $\Leftrightarrow $ $3x+4y+4z-12a=0$
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ ta có:
$d\left( C ; \left( SBD \right) \right)=\dfrac{\left| 12 a + 12 a - 12 a \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{12 a}{\sqrt{41}}=\dfrac{12 \sqrt{41} a}{41}$.
A. $\dfrac{12\sqrt{61} a}{61}$.
B. $\dfrac{\sqrt{61} a}{12}$.
C. $\dfrac{12\sqrt{41} a}{41}$.
D. $\dfrac{\sqrt{41} a}{12}$.
Ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 5a \right)}^{2}}-{{\left( 4a \right)}^{2}}}=3a$.
Cách 1:
Ta có $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=h$.
Tứ diện $ASBD$ có các cạnh $AB,AD,AS$ đôi một vuông góc với nhau và $AB=4a,AD=3a,AS=3a$ nên ta có
$\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{41}{144{{a}^{2}}}\Rightarrow h=\dfrac{12a\sqrt{41}}{41}$
Vậy $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{12a\sqrt{41}}{41}$.
Cách 2:
Đặt hình chóp $S.ABCD$ vào một hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A \equiv O$, $AB$ nằm trên tia $Ox$, $AD$ nằm trên tia $Oy$, $AS$ nằm trên tia $Oz$. Các đỉnh của hình chóp có tọa độ là:
$A\left( 0 ; 0 ; 0 \right)$, $B\left( 4a ; 0 ; 0 \right)$, $C\left( 4a ; 3a ; 0 \right)$, $D\left( 0 ; 3a ; 0 \right)$, $S\left( 0 ; 0 ; 3a \right)$.
Sử dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng $\left( SBD \right)$ là:
$\dfrac{x}{4a}+\dfrac{y}{3a}+\dfrac{z}{3a}=1$ $\Leftrightarrow $ $3x+4y+4z-12a=0$
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ ta có:
$d\left( C ; \left( SBD \right) \right)=\dfrac{\left| 12 a + 12 a - 12 a \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{12 a}{\sqrt{41}}=\dfrac{12 \sqrt{41} a}{41}$.
Đáp án C.