Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy; $SA=a\sqrt{6}$. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=\dfrac{1}{2}A\text{D}=a$. Gọi E là trung điểm AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD.
A. $R=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$
B. $R=a\sqrt{\dfrac{19}{6}}$
C. $R=a\sqrt{6}$
D. $R=\sqrt{\dfrac{114}{6}}a$
Vì E là trung điểm AD và $AB=BC=\dfrac{1}{2}A\text{D}=a$ nên $AB=BC=A\text{E}=E\text{D}=a$ mà $BC\text{ // AE}\Rightarrow $ tứ giác ABCE là hình vuông suy ra $CE\bot A\text{D}$ hay tam giác ECD vuông tại E nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta EC\text{D}$.
Gắn với hệ trục tọa độ với $A\equiv O\left( 0;0;0 \right),A\text{D}\equiv \text{Ox; AB}\equiv \text{Oy; AS}\equiv \text{Oz}$.
Coi đơn vị độ dài là $a=1$.
Suy ra $A\left( 0;0;0 \right),\text{ S}\left( 0;0;\sqrt{6} \right),\text{ E}\left( 1;0;0 \right),\text{ D}\left( 2;0;0 \right),\text{ C}\left( 1;1;0 \right)$ và $M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)$ là trung điểm của CD.
Vì $\Delta EC\text{D}$ vuông tại E nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD thuộc đường thẳng qua M và song song với SA.
Phương trình đường thẳng d qua M và song song với SA có 1 véctơ pháp tuyến thì có dạng: $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{2} \\
& y=\dfrac{1}{2} \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};t \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ECD thì:
$\text{IS}=I\text{D}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-\sqrt{6} \right)}^{2}}={{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{t}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{6}t=8\Rightarrow t=\dfrac{4}{\sqrt{6}}\Rightarrow I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{4}{\sqrt{6}} \right)$
Bán kính mặt cầu là $R=I\text{D}=\sqrt{{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4}{\sqrt{6}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{19}{6}}$ hay $R=\sqrt{\dfrac{19}{6}}a$.
A. $R=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}$
B. $R=a\sqrt{\dfrac{19}{6}}$
C. $R=a\sqrt{6}$
D. $R=\sqrt{\dfrac{114}{6}}a$
Vì E là trung điểm AD và $AB=BC=\dfrac{1}{2}A\text{D}=a$ nên $AB=BC=A\text{E}=E\text{D}=a$ mà $BC\text{ // AE}\Rightarrow $ tứ giác ABCE là hình vuông suy ra $CE\bot A\text{D}$ hay tam giác ECD vuông tại E nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta EC\text{D}$.
Gắn với hệ trục tọa độ với $A\equiv O\left( 0;0;0 \right),A\text{D}\equiv \text{Ox; AB}\equiv \text{Oy; AS}\equiv \text{Oz}$.
Coi đơn vị độ dài là $a=1$.
Suy ra $A\left( 0;0;0 \right),\text{ S}\left( 0;0;\sqrt{6} \right),\text{ E}\left( 1;0;0 \right),\text{ D}\left( 2;0;0 \right),\text{ C}\left( 1;1;0 \right)$ và $M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};0 \right)$ là trung điểm của CD.
Vì $\Delta EC\text{D}$ vuông tại E nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD thuộc đường thẳng qua M và song song với SA.
Phương trình đường thẳng d qua M và song song với SA có 1 véctơ pháp tuyến thì có dạng: $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3}{2} \\
& y=\dfrac{1}{2} \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};t \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ECD thì:
$\text{IS}=I\text{D}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( t-\sqrt{6} \right)}^{2}}={{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{t}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{6}t=8\Rightarrow t=\dfrac{4}{\sqrt{6}}\Rightarrow I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{4}{\sqrt{6}} \right)$
Bán kính mặt cầu là $R=I\text{D}=\sqrt{{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4}{\sqrt{6}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{19}{6}}$ hay $R=\sqrt{\dfrac{19}{6}}a$.
Đáp án B.