Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right)$, $SA=2a$, $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AD=DC=\dfrac{1}{2}AB$. Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $45{}^\circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Ta có $AD=DC=\dfrac{1}{2}AB=CM$, suy ra $\Delta ACB$ vuông tại $C$ hay $AC\bot BC$. Suy ra $\widehat{\left( \left( SBC \right) , \left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ $.
Suy ra $AC=SA=2a$ $\Rightarrow AD=DC=a\sqrt{2}$, $AB=2a\sqrt{2}$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\left( AB+DC \right).AD$ $=\dfrac{1}{2}\left( a\sqrt{2}+2a\sqrt{2} \right).a\sqrt{2}=3{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.3{{a}^{2}}.2a=2{{a}^{3}}$.
A. $2{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Ta có $AD=DC=\dfrac{1}{2}AB=CM$, suy ra $\Delta ACB$ vuông tại $C$ hay $AC\bot BC$. Suy ra $\widehat{\left( \left( SBC \right) , \left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SCA}=45{}^\circ $.
Suy ra $AC=SA=2a$ $\Rightarrow AD=DC=a\sqrt{2}$, $AB=2a\sqrt{2}$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\left( AB+DC \right).AD$ $=\dfrac{1}{2}\left( a\sqrt{2}+2a\sqrt{2} \right).a\sqrt{2}=3{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.3{{a}^{2}}.2a=2{{a}^{3}}$.
Đáp án A.