Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right)$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $AD=2a$, $SA=a$. Khoảng cách từ $A$ đến $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
D. $\dfrac{3a}{\sqrt{7}}$.
Ta có $CD\bot AD$ ( $ABCD$ là hình chữ nhật), $CD\bot SA$ $\left( SA\bot \left( ABCD \right) \right)$ $\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)$.
Kẻ $AH\bot SD$ $\left( H\in SD \right)$, do $CD\bot \left( SAD \right)$ và $AH\subset \left( SAD \right)$ $\Rightarrow AH\bot CD$.
Vậy $AH\bot \left( SCD \right)$ nên $d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$.
Trong $\Delta SAD$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
D. $\dfrac{3a}{\sqrt{7}}$.
Kẻ $AH\bot SD$ $\left( H\in SD \right)$, do $CD\bot \left( SAD \right)$ và $AH\subset \left( SAD \right)$ $\Rightarrow AH\bot CD$.
Vậy $AH\bot \left( SCD \right)$ nên $d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$.
Trong $\Delta SAD$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH=\dfrac{2a}{\sqrt{5}}$.
Đáp án C.