Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right)$. Biết $AC=a\sqrt{2}$, cạnh $SC$ tạo với đáy góc bằng $60{}^\circ $ và diện tích tứ giác $ABCD$ bằng $\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC$. Tính thể tích khối $H.ABCD$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{SCA}={{60}^{0}}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $\sin {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos {{60}^{0}}=\dfrac{HC}{AC}\Rightarrow HC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác $SAC$ kẻ $HI//SA,\ HI\cap AC=I$. Ta có $\dfrac{CH}{SC}=\dfrac{HI}{SA}\Rightarrow HI=\dfrac{SA}{SC}.CH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{.a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Ta có $HI\bot \left( ABCD \right)$. Vậy thể tích khối $H.ABCD$ bằng ${{V}_{H.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.HI.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Trong tam giác $SAC$ kẻ $HI//SA,\ HI\cap AC=I$. Ta có $\dfrac{CH}{SC}=\dfrac{HI}{SA}\Rightarrow HI=\dfrac{SA}{SC}.CH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{.a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Ta có $HI\bot \left( ABCD \right)$. Vậy thể tích khối $H.ABCD$ bằng ${{V}_{H.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.HI.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
Đáp án B.