Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là vuông cạnh $a,$ hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trung điểm của cạnh $AD,$ cạnh bên $SB$ hợp với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{2}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6\sqrt{3}}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow BH$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ trên $\left( ABCD \right)$. Nên góc $\widehat{SBH}$ là góc giữa $SB$ và $\left( ABCD \right)$, vậy $\widehat{SBH}={{60}^{0}}.$
$\Delta SBH$ vuông tại $A\Rightarrow BH=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
$\Delta HSB$ vuông tại $H\Rightarrow SH=HB.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{2}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6\sqrt{3}}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow BH$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ trên $\left( ABCD \right)$. Nên góc $\widehat{SBH}$ là góc giữa $SB$ và $\left( ABCD \right)$, vậy $\widehat{SBH}={{60}^{0}}.$
$\Delta SBH$ vuông tại $A\Rightarrow BH=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
$\Delta HSB$ vuông tại $H\Rightarrow SH=HB.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}.$
Đáp án B.