Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SA=a\sqrt{3}$ và $BD=2a$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{30}}{5}$.
Ta có: $BD=AB\sqrt{2}\Leftrightarrow 2a=AB\sqrt{2}\Rightarrow AB=a\sqrt{2}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,SC$. Khi đó ta có:
$\left. \begin{aligned}
& CD\bot OM \left( OM//AB \right) \\
& CD\bot ON \left( ON//SA \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( OMN \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( OMN \right)$.
Lại có: $\left( OMN \right)\cap \left( SCD \right)=MN$. Kẻ $OH\bot MN$ tại $H$ $\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right)$
Do đó, ta có: $d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH$. Xét tam giác $OMN$ vuông tại $O$ có:
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{4}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{4}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{20}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow O{{H}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{10}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
Vậy $d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{30}}{5}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,SC$. Khi đó ta có:
$\left. \begin{aligned}
& CD\bot OM \left( OM//AB \right) \\
& CD\bot ON \left( ON//SA \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( OMN \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( OMN \right)$.
Lại có: $\left( OMN \right)\cap \left( SCD \right)=MN$. Kẻ $OH\bot MN$ tại $H$ $\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right)$
Do đó, ta có: $d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH$. Xét tam giác $OMN$ vuông tại $O$ có:
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{N}^{2}}}=\dfrac{4}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{4}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{4}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{20}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow O{{H}^{2}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{10}\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
Vậy $d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
Đáp án B.