Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$, $SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SO=a$. Khoảng cách giữa $SC$ và $AB$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{15}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}A B \not \subset(S C D) \\ A B / / C D \\ C D \subset(S C D)\end{array} \Rightarrow A B / /(S C D)\right.$
suy ra $d(A B, S C)=d(A B,(S C D))=d(A,(S C D))=2 d(O,(S C D))$.
Gọi $I$ là trung điểm $C D$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $S I$ suy ra $d(O,(S C D))=O H$.
Xét tam giác $S O I$ vuông tại $O$ có $\left\{\begin{array}{l}S O=a \\ O I=\dfrac{a}{2}\end{array} \Rightarrow O H=\dfrac{S O \cdot O I}{\sqrt{S O^{2}+O I^{2}}}=\dfrac{a \sqrt{5}}{5}\right.$.
Suy ra $d(A B, S C)=O H=\dfrac{2 a \sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{15}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{15}$.
C. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
suy ra $d(A B, S C)=d(A B,(S C D))=d(A,(S C D))=2 d(O,(S C D))$.
Gọi $I$ là trung điểm $C D$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $S I$ suy ra $d(O,(S C D))=O H$.
Xét tam giác $S O I$ vuông tại $O$ có $\left\{\begin{array}{l}S O=a \\ O I=\dfrac{a}{2}\end{array} \Rightarrow O H=\dfrac{S O \cdot O I}{\sqrt{S O^{2}+O I^{2}}}=\dfrac{a \sqrt{5}}{5}\right.$.
Suy ra $d(A B, S C)=O H=\dfrac{2 a \sqrt{5}}{5}$.
Đáp án C.