Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, $\Delta SAB$ vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SHM) bằng a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
A. $\dfrac{2a}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a}{5}$
D. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
A. $\dfrac{2a}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$
C. $\dfrac{a}{5}$
D. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Tam giác $SAB\text{ cn }\Rightarrow \text{SH}\bot \text{AB}$
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow BH\bot SH$
Lại có $BH\bot HM\Rightarrow BH\bot \left( SHM \right)$
Do đó $d\left[ B;\left( SHM \right) \right]=BH=a\Rightarrow AB=CD=HM=2a$
Kẻ $HE\bot SM\left( E\in SM \right)$ $CD\bot \left( SHM \right)\Rightarrow HE\bot \left( SCD \right)$
Xét tam giác SHM có $\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HE=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Vậy $d\left[ A;\left( SCD \right) \right]=d\left[ H;\left( SCD \right) \right]=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow BH\bot SH$
Lại có $BH\bot HM\Rightarrow BH\bot \left( SHM \right)$
Do đó $d\left[ B;\left( SHM \right) \right]=BH=a\Rightarrow AB=CD=HM=2a$
Kẻ $HE\bot SM\left( E\in SM \right)$ $CD\bot \left( SHM \right)\Rightarrow HE\bot \left( SCD \right)$
Xét tam giác SHM có $\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HE=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$
Vậy $d\left[ A;\left( SCD \right) \right]=d\left[ H;\left( SCD \right) \right]=\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
Đáp án D.