Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết

S C = a \sqrt{7}

và mặt phẳng

(S D C)

tạo với mặt phẳng

(A B C D)

một góc 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.

3 a^{3}

.
B.

a^{3}

.
C.

a^{3} \sqrt{6}

.
D.

a^{3} \sqrt{3}

.

Ta có:

{\begin{aligned} (S C D) \cap (A B C D) = D C \\ A D \subset (A B C D), A D ⊥ D C \\ S D \subset (S D C), S D ⊥ D C \end{aligned} \Rightarrow ((A B C D), (S D C)) = S D A = 30^{\circ}

Gọi cạnh hình vuông là x

\Rightarrow S A = x . \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} x

và

A C = \sqrt{2} a

Lại có

S C^{2} = S A^{2} + A C^{2}

hay

{(a \sqrt{7})}^{2} = {(\sqrt{2} x)}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{3} x)}^{2}

. Từ đó ta có

x = \sqrt{3} a

.
Do đó

S A = a

Thể tích khối chóp cần tìm là

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . {(\sqrt{3} a)}^{2} = a^{3}

Đáp án B.