Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết $SC=a\sqrt{7}$ và mặt phẳng $\left( SDC \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. $3{{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=DC \\
& AD\subset \left( ABCD \right),AD\bot DC \\
& SD\subset \left( SDC \right),SD\bot DC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( ABCD \right),\left( SDC \right) \right)=SDA=30{}^\circ $
Gọi cạnh hình vuông là x $\Rightarrow SA=x.\tan 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ và $AC=\sqrt{2}a$
Lại có $S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}$ hay ${{\left( a\sqrt{7} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2}x \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}x \right)}^{2}}$. Từ đó ta có $x=\sqrt{3}a$.
Do đó $SA=a$
Thể tích khối chóp cần tìm là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}={{a}^{3}}$
A. $3{{a}^{3}}$.
B. ${{a}^{3}}$.
C. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=DC \\
& AD\subset \left( ABCD \right),AD\bot DC \\
& SD\subset \left( SDC \right),SD\bot DC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( ABCD \right),\left( SDC \right) \right)=SDA=30{}^\circ $
Gọi cạnh hình vuông là x $\Rightarrow SA=x.\tan 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ và $AC=\sqrt{2}a$
Lại có $S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}$ hay ${{\left( a\sqrt{7} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2}x \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}x \right)}^{2}}$. Từ đó ta có $x=\sqrt{3}a$.
Do đó $SA=a$
Thể tích khối chóp cần tìm là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}={{a}^{3}}$
Đáp án B.