Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc $30{}^\circ $.
Thể tích khối chóp S.ABD bằng
A. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABD}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Chứng minh được $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow $ góc giữa SC và (SAB) là $\widehat{CSB}=30{}^\circ $
Đặt $SA=x, \left( x>0 \right)\Rightarrow SB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$
Tam giác SBC vuông tại B có $\tan \widehat{CSB}=\tan 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{BC}{SB}$
Khi đó $SB=BC\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=a\sqrt{2}$
Vậy ${{V}_{S.ABD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
A. ${{a}^{3}}\sqrt{2}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Chứng minh được $BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow $ góc giữa SC và (SAB) là $\widehat{CSB}=30{}^\circ $
Đặt $SA=x, \left( x>0 \right)\Rightarrow SB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$
Tam giác SBC vuông tại B có $\tan \widehat{CSB}=\tan 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{BC}{SB}$
Khi đó $SB=BC\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=a\sqrt{2}$
Vậy ${{V}_{S.ABD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
Đáp án C.