Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Các điểm $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B C$ và $C D, S A = \sqrt{5}$ và $S A$ vuông...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Các điểm

M, N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C

và

C D, S A = \sqrt{5}

và

S A

vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng

S N

và

D M

bằng

A.

\frac{\sqrt{10}}{2} .

B.

\frac{\sqrt{5}}{10} .

C.

\frac{\sqrt{10}}{10} .

D.

\frac{\sqrt{10}}{5} .

Dựng hình bình hành

D E F M \Rightarrow D M / / (S E F)

và

F

là trung điểm của

C M

\Rightarrow d (S N; D M) = d (D M; (S E F)) = d (D; (S E F)) = \frac{D E}{A E} . d (A; (S E F))

\frac{D E}{A D} = \frac{M F}{A D} = \frac{1}{4} \Rightarrow D E = \frac{1}{5} . A E \Rightarrow d (S N; D M) = \frac{1}{5} d (A; (S E F)) .

Ta có

A E = A D + D E = \frac{5}{4} . A D = \frac{5}{2}

Trong tam giác vuông

A B F

có

A F = \sqrt{A B^{2} + B F^{2}} = \sqrt{2^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} = \frac{5}{2}

Do đó tam giác vuông

A B F

cân tại

A \Rightarrow A N ⊥ E F

Mặt khác có

S A ⊥ E F .

\Rightarrow E F ⊥ (S A K) \Rightarrow (S E F) ⊥ (S A K)

theo giao tuyến

S N

Từ

A

hạ

A H ⊥ S N \Rightarrow A H ⊥ (S E F)

\Rightarrow d (A; (S E F)) = A H

E F = D M = \sqrt{C D^{2} + C M^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}

Trong tam giác vuông

A N F

có

A N = \sqrt{A F^{2} - N F^{2}} = \sqrt{A F^{2} - {(\frac{D M}{2})}^{2}} = \sqrt{5}

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{2}{5} \Rightarrow A H = \frac{\sqrt{10}}{2}

\Rightarrow d (S N; D M) = \frac{1}{5} . A H = \frac{\sqrt{10}}{10} .

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD,SA=5 và SA vuông...