Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CD,SA=\sqrt{5}$ và $SA$ vuông...

Dựng hình bình hành $DEFM\Rightarrow DM//\left( SEF \right)$ và $F$ là trung điểm của $CM$
$\Rightarrow d\left( SN;DM \right)=d\left( DM;\left( SEF \right) \right)=d\left( D;\left( SEF \right) \right)=\dfrac{DE}{AE}.d\left( A;\left( SEF \right) \right)$
$\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{MF}{AD}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow DE=\dfrac{1}{5}.AE\Rightarrow d\left( SN;DM \right)=\dfrac{1}{5}d\left( A;\left( SEF \right) \right).$
Ta có $AE=AD+DE=\dfrac{5}{4}.AD=\dfrac{5}{2}$
Trong tam giác vuông $ABF$ có $AF=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{F}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{2}$
Do đó tam giác vuông $ABF$ cân tại $A\Rightarrow AN\bot EF$
Mặt khác có $SA\bot EF.$
$\Rightarrow EF\bot \left( SAK \right)\Rightarrow \left( SEF \right)\bot \left( SAK \right)$ theo giao tuyến $SN$
Từ $A$ hạ $AH\bot SN\Rightarrow AH\bot \left( SEF \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( SEF \right) \right)=AH$
$EF=DM=\sqrt{C{{D}^{2}}+C{{M}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$
Trong tam giác vuông $ANF$ có $AN=\sqrt{A{{F}^{2}}-N{{F}^{2}}}=\sqrt{A{{F}^{2}}-{{\left( \dfrac{DM}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}$
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
$\Rightarrow d\left( SN;DM \right)=\dfrac{1}{5}.AH=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.$