Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$...

Gọi $O=AC\cap BD$ ; $I$ là trung điểm $AE$.
Dễ dàng chứng minh được: $AK\mathrm{\perp }\left(SCD\right);AH\mathrm{\perp }\left(SBC\right);SC\mathrm{\perp }\left(AKH\right);SC\mathrm{\perp }\left(AKE\right)$
$\Rightarrow \left(AKH\right)\equiv \left(AKE\right)$ $\Rightarrow$ $A,K,E,H$ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Ta có: $AK\mathrm{\perp }\left(SCD\right)\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& AK\mathrm{\perp }KE\\ & AK\mathrm{\perp }KC\end{array};AH\mathrm{\perp }\left(SBC\right)\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& AH\mathrm{\perp }HE\\ & AH\mathrm{\perp }HC\end{array}$.
$\Rightarrow \widehat{AKE}+\widehat{AHE}={180}^0$ $\Rightarrow$ Tứ giác $AKEH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AE$, có tâm $I$ là trung điểm $AE$.
Ta có: $\widehat{AKC}=\widehat{AEC}=\widehat{AHC}={90}^0$ $\Rightarrow KO=EO=HO={\displaystyle \frac{AC}{2}}$.
$\Rightarrow OI\mathrm{\perp }\left(HKE\right)$ $\Rightarrow$ Khối nón cần tìm có đỉnh là $O$, đường cao là $OI$, bán kính đáy $R=AI={\displaystyle \frac{AE}{2}}$.
Ta có: $AC=a\sqrt{2};AE=\sqrt{{\displaystyle \frac{S{A}^2.A{C}^2}{S{A}^2+A{C}^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2a^2.2a^2}{2a^2+2a^2}}}=a$ $\Rightarrow R={\displaystyle \frac{a}{2}}$.
$h=OI=\sqrt{A{O}^2-A{I}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{AC}{2}}\right)}^2-A{I}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a}{2}}$.
Thể tích của khối nón cần tìm là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi R^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{\pi a^3}{24}}$.