Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Tính khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Gọi $H$ trung điểm của $AB$ thì $SH\bot AB$. Do $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Dễ nhận thấy $d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$.
Dựng $HK\bot SB$. Khi đó $HK\bot BC$ (vì $BC\bot \left( SAB \right)$ ). Do đó $d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK$.
Trong tam giác vuông $SHB$ có $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $HB=\dfrac{a}{2}$, $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}=\dfrac{16}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $H$ trung điểm của $AB$ thì $SH\bot AB$. Do $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Dễ nhận thấy $d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)$.
Dựng $HK\bot SB$. Khi đó $HK\bot BC$ (vì $BC\bot \left( SAB \right)$ ). Do đó $d\left( H;\left( SBC \right) \right)=HK$.
Trong tam giác vuông $SHB$ có $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $HB=\dfrac{a}{2}$, $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}=\dfrac{16}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.