Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với đáy. $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc $30{}^\circ $ . Tính thế tích khối chóp $S.ABCD$
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$ .
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$ .
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$ .
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$ .
Ta có góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là góc $\widehat{BSC}$ . Suy ra $\widehat{BSC}=30{}^\circ $ .
Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$ ta có: $\dfrac{BC}{SB}=\tan \widehat{BSC}$ . Suy ra $SB=\dfrac{BC}{\tan \widehat{BSC}}=\dfrac{a}{\tan 30{}^\circ }=a\sqrt{3}$ .
$SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$ .
Vậy thể tích hình chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3} . {{S}_{ABCD}} . SA=\dfrac{1}{3} . {{a}^{2}} . a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} $ .
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$ .
B. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$ .
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$ .
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$ .
Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$ ta có: $\dfrac{BC}{SB}=\tan \widehat{BSC}$ . Suy ra $SB=\dfrac{BC}{\tan \widehat{BSC}}=\dfrac{a}{\tan 30{}^\circ }=a\sqrt{3}$ .
$SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$ .
Vậy thể tích hình chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3} . {{S}_{ABCD}} . SA=\dfrac{1}{3} . {{a}^{2}} . a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} $ .
Đáp án A.