Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa $AC$ và mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng ${{30}^{\text{o}}}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Kẻ $AH\bot SD$, $AH\cap SD=H$ (1).
$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot CD$. Mà $CD\bot AD$ $CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$ (2).
Từ (1) và (2): $AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( AC,\left( SCD \right) \right)}=\widehat{ACH}={{30}^{\text{o}}}$.
Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ : $AC=a\sqrt{2}$, $AH=AC.\sin \widehat{ACH}=a\sqrt{2}.\sin {{30}^{\text{o}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SA=a$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}$.
$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot CD$. Mà $CD\bot AD$ $CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AH$ (2).
Từ (1) và (2): $AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( AC,\left( SCD \right) \right)}=\widehat{ACH}={{30}^{\text{o}}}$.
Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ : $AC=a\sqrt{2}$, $AH=AC.\sin \widehat{ACH}=a\sqrt{2}.\sin {{30}^{\text{o}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$ : $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SA=a$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án A.