Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SB$, $SC$. Thể tích của khối chóp $S.ADMN$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Ta có góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là góc $\widehat{SOA}$ và bằng $60{}^\circ $. Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ có $SA=AO.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}$
và $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}$
Tương tự, $\dfrac{{{V}_{S.ADN}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ADN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ADMN}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.ADN}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24}$.
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}$
và $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}$
Tương tự, $\dfrac{{{V}_{S.ADN}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ADN}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ADMN}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.ADN}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$.
Đáp án A.