Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a, $SA$ vuông góc với đáy. Cạnh bên $SC$ tạo với đáy góc ${{60}^{\circ }}$. Trên cạnh $SB$ lấy điểm $K$ sao cho $KS=2KB$. Khoảng cách từ $K$ đến $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{42}}{7}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{42}}{21}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{15}$.
Kẻ $AH\bot SC$ tại $H$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{SCA}={{60}^{\circ }}\Rightarrow SA=AC\tan {{60}^{\circ }}=a\sqrt{6}$.
$\dfrac{d\left( K,\left( SCD \right) \right)}{d\left( B,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{SK}{SB}=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow d\left( K,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}AH$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{7}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{42}}{7}\Rightarrow d\left( K,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{42}}{7}$.
B. $\dfrac{2a\sqrt{42}}{21}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{42}}{21}$.
D. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{15}$.
Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{SCA}={{60}^{\circ }}\Rightarrow SA=AC\tan {{60}^{\circ }}=a\sqrt{6}$.
$\dfrac{d\left( K,\left( SCD \right) \right)}{d\left( B,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{SK}{SB}=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow d\left( K,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}AH$.
Ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{7}{6{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{42}}{7}\Rightarrow d\left( K,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{42}}{7}$.
Đáp án B.