Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA=a\sqrt{3}.$ Mặt bên $SAB$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$ là trung điểm của $AB,K$ là trung điểm của $AD.$ Khoảng cách giữa hai đường $SD$ và $HK$ bằng:
A. $\dfrac{a\sqrt{105}}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{105}}{20}$
C. $\dfrac{a\sqrt{105}}{30}$
D. $\dfrac{a\sqrt{105}}{10}$
A. $\dfrac{a\sqrt{105}}{5}$
B. $\dfrac{a\sqrt{105}}{20}$
C. $\dfrac{a\sqrt{105}}{30}$
D. $\dfrac{a\sqrt{105}}{10}$
Phương pháp:
- Chứng minh $d\left( SD;HK \right)=d\left( H;\left( SBD \right) \right),$ sử dụng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia.
- Gọi $O,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,BO.$ Trong $\left( SHM \right)$ kẻ $HI\bot SM,$ chứng minh $HI\bot \left( SBD \right).$
- Sử dụng định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính thể tích.
Cách giải:
Vì tam giác $SAB$ cân nên $SH\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Vì $HK$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $HK//BD\Rightarrow HK//\left( SBD \right)\supset SD.$
$\Rightarrow d\left( SD;HK \right)=d\left( HK;\left( SBD \right) \right)=d\left( H;\left( SBD \right) \right).$
Gọi $O,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,SO.$
Ta có $SC\bot BD$ (do $ABCD$ là hình vuông), $HM//AC$ (do $HM$ là đường trung bình của $\Delta ABO$ )
$\Rightarrow HM\bot BD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot HM \\
& BD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SHM \right).$
Trong $\left( SHM \right)$ kẻ $HI\bot SM$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& HI\bot SM \\
& HI\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HI\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SBD \right) \right)=HI.$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow HM=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Ta có: $HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SHD$ có: $SH=\sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SHM$ có: $HI=\dfrac{SH.HM}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}}=\dfrac{a\sqrt{105}}{30}.$
Vậy $d\left( HK;SD \right)=\dfrac{a\sqrt{105}}{30}.$
- Chứng minh $d\left( SD;HK \right)=d\left( H;\left( SBD \right) \right),$ sử dụng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia.
- Gọi $O,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,BO.$ Trong $\left( SHM \right)$ kẻ $HI\bot SM,$ chứng minh $HI\bot \left( SBD \right).$
- Sử dụng định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính thể tích.
Cách giải:
Vì tam giác $SAB$ cân nên $SH\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\subset \left( SAB \right),SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Vì $HK$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $HK//BD\Rightarrow HK//\left( SBD \right)\supset SD.$
$\Rightarrow d\left( SD;HK \right)=d\left( HK;\left( SBD \right) \right)=d\left( H;\left( SBD \right) \right).$
Gọi $O,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,SO.$
Ta có $SC\bot BD$ (do $ABCD$ là hình vuông), $HM//AC$ (do $HM$ là đường trung bình của $\Delta ABO$ )
$\Rightarrow HM\bot BD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot HM \\
& BD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SHM \right).$
Trong $\left( SHM \right)$ kẻ $HI\bot SM$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& HI\bot SM \\
& HI\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HI\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SBD \right) \right)=HI.$
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow HM=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Ta có: $HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SHD$ có: $SH=\sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.$
Xét tam giác vuông $SHM$ có: $HI=\dfrac{SH.HM}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{7}}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{8}}}=\dfrac{a\sqrt{105}}{30}.$
Vậy $d\left( HK;SD \right)=\dfrac{a\sqrt{105}}{30}.$
Đáp án C.