Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA=2a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính theo $a$ khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$.
A. $\dfrac{4}{9}a$.
B. $\dfrac{9}{4}a$.
C. $\dfrac{2}{3}a$.
D. $\dfrac{3}{2}a$.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Gọi $H$ là hình chiếu của lên $SO$.
Ta có $BD\bot AC$ và $BD\bot SA$ nên $BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH$.
Lại có $AH\bot SO$ và $AH\bot BD$ nên $AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Trong tam giác $ABC$ có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác $SAO$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a}{3}$.
Vậy $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{2a}{3}$.
A. $\dfrac{4}{9}a$.
B. $\dfrac{9}{4}a$.
C. $\dfrac{2}{3}a$.
D. $\dfrac{3}{2}a$.
Gọi $H$ là hình chiếu của lên $SO$.
Ta có $BD\bot AC$ và $BD\bot SA$ nên $BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH$.
Lại có $AH\bot SO$ và $AH\bot BD$ nên $AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Trong tam giác $ABC$ có $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác $SAO$ có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{9}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{2a}{3}$.
Vậy $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{2a}{3}$.
Đáp án C.