Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Suy ra $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $\dfrac{d\left( H,\left( SBD \right) \right)}{d\left( A,\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm $OB$, suy ra $HI||OA$ (với $O$ là tâm của đáy hình vuông).
Suy ra $HI=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$. Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot HI \\
& BD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SHI \right)$.
Vẽ $HK\bot SI\Rightarrow HK\bot \left( SBD \right)$. Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Suy ra $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}$.
Ta có $\dfrac{d\left( H,\left( SBD \right) \right)}{d\left( A,\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm $OB$, suy ra $HI||OA$ (với $O$ là tâm của đáy hình vuông).
Suy ra $HI=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$. Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot HI \\
& BD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SHI \right)$.
Vẽ $HK\bot SI\Rightarrow HK\bot \left( SBD \right)$. Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Suy ra $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án B.