Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{28}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\bot AB$ (do $\Delta SAB$ là tam giác đều).
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$.
Suy ra $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $I=HD\cap AC\Rightarrow \dfrac{DI}{HI}=\dfrac{DC}{HA}=2$ (do $HA\ \text{//}\ CD$ ).
Kẻ $HK\bot AC;HE\bot SK$ $\Rightarrow HE=d(H,(SAC))$.
Xét $\Delta SAB$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\Delta AHK$ vuông tại $K$ có: $\sin \widehat{HAK}=\dfrac{HK}{AH}\Rightarrow HK=\dfrac{a}{2}.\sin {{45}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
$\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow HE=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\Rightarrow d\left( H,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Có $DH\cap \left( SAC \right)=\left\{ I \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( D,\left( SAC \right) \right)}{d\left( H,\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{DI}{HI}=2\Rightarrow d\left( D,\left( SAC \right) \right)=2d\left( H,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{28}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$.
Suy ra $SH\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $I=HD\cap AC\Rightarrow \dfrac{DI}{HI}=\dfrac{DC}{HA}=2$ (do $HA\ \text{//}\ CD$ ).
Kẻ $HK\bot AC;HE\bot SK$ $\Rightarrow HE=d(H,(SAC))$.
Xét $\Delta SAB$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\Delta AHK$ vuông tại $K$ có: $\sin \widehat{HAK}=\dfrac{HK}{AH}\Rightarrow HK=\dfrac{a}{2}.\sin {{45}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
$\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow HE=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\Rightarrow d\left( H,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$.
Có $DH\cap \left( SAC \right)=\left\{ I \right\}\Rightarrow \dfrac{d\left( D,\left( SAC \right) \right)}{d\left( H,\left( SAC \right) \right)}=\dfrac{DI}{HI}=2\Rightarrow d\left( D,\left( SAC \right) \right)=2d\left( H,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án C.