Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (minh họa như hình vẽ). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{28}$
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Gọi H là trung điểm của AB thì $SH\bot AB$. Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$ và $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi $O=AC\cap BD$ ta có:
$d\left( D;\left( SAC \right) \right)=d\left( A;\left( SAC \right) \right)=2d\left( H;\left( SAC \right) \right)$
Dựng $HE\bot AC,HF\bot SE\Rightarrow d\left( H;\left( SAC \right) \right)=HF$
Trong đó $HE=\dfrac{BO}{2}=\dfrac{BD}{4}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Mặt khác $\dfrac{1}{H{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}\Rightarrow HF=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
Suy ra $d\left( D;\left( SAC \right) \right)=2HF=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{28}$
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Gọi H là trung điểm của AB thì $SH\bot AB$. Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$ và $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi $O=AC\cap BD$ ta có:
$d\left( D;\left( SAC \right) \right)=d\left( A;\left( SAC \right) \right)=2d\left( H;\left( SAC \right) \right)$
Dựng $HE\bot AC,HF\bot SE\Rightarrow d\left( H;\left( SAC \right) \right)=HF$
Trong đó $HE=\dfrac{BO}{2}=\dfrac{BD}{4}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Mặt khác $\dfrac{1}{H{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}\Rightarrow HF=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
Suy ra $d\left( D;\left( SAC \right) \right)=2HF=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án C.