Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là điểm H thuộc AB sao cho $BH=2HA$. Cạnh SC tạo với đáy $\left( ABCD \right)$ một góc bằng 60. Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{13}}{8}$.
C. $a\sqrt{13}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{8}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{13}}{8}$.
C. $a\sqrt{13}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{13}}{8}$.
Kẻ $HM\bot CD,HN\bot SM\Rightarrow HN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HN$.
Vì $HM\bot CD\Rightarrow HM\text{//}AD$ AHMD là hình bình hành $\Rightarrow HM=a$
Tam giác HBC vuông tại B
$\Rightarrow HC=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}}{9}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}$.
Tam giác SHC vuông tại H
$\Rightarrow SH=HC.\tan \widehat{SCH}=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{39}}{3}$.
Tam giác SHM vuông tại H, HN là đường cao, suy ra
$\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{3}{13{{a}^{2}}}=\dfrac{16}{13{{a}^{2}}}\Rightarrow HN=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}$.
Vì K là trung điểm của HC nên $d\left( K,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{13}}{8}$.
Vì $HM\bot CD\Rightarrow HM\text{//}AD$ AHMD là hình bình hành $\Rightarrow HM=a$
Tam giác HBC vuông tại B
$\Rightarrow HC=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{4{{a}^{2}}}{9}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}$.
Tam giác SHC vuông tại H
$\Rightarrow SH=HC.\tan \widehat{SCH}=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{39}}{3}$.
Tam giác SHM vuông tại H, HN là đường cao, suy ra
$\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{3}{13{{a}^{2}}}=\dfrac{16}{13{{a}^{2}}}\Rightarrow HN=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}$.
Vì K là trung điểm của HC nên $d\left( K,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{13}}{8}$.
Đáp án B.